Question

在數列{a_n）中，已知a₁=

7

2

，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：{

an- 1 2

3n

}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n及它的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，結合

an- 1 2

3n

-

an-1- 1 2

3n-1

，即可證得結論；
（2）確定數列的通項，利用錯位相減法可求數列的和．

解答：（1）證明：∵a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，
∴a_n-

1

2

=3（a_n-1-

1

2

）+3ⁿ，
∴

an- 1 2

3n

-

an-1- 1 2

3n-1

=

an-3an-1+1

3n

=1
∴{

an- 1 2

3n

}是等差數列，且公差為1；
（2）解：由（1）{

an- 1 2

3n

}是等差數列，且公差為1，a₁=

7

2

，
∴

an- 1 2

3n

=

7 2 - 1 2

3

+（n-1）×1=n，∴an=n•3n+

1

2

∴S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）+

n

2

令T_n=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ，①則
3T_n=1×3²+2×3³+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②：-2T_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=-

1

2

(3-3n+1)-n•3n+1
∴T_n=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

∴S_n=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

+

n

2

點評：本題考查數列遞推式，考查等差數列的證明，考查數列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．