Question

已知橢圓：（）的焦距為，且過點（，），右焦點為．設，是上的兩個動點，線段的中點的橫坐標為，線段的中垂線交橢圓于，兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）的取值范圍為．

【解析】

試題分析：（I）利用橢圓的幾何性質，建立的方程組即得；

（2） 討論當直線AB垂直于軸時，直線AB方程為，此時、 ，得．

當直線不垂直于軸時，設直線的斜率為()， ()， ，，利用“點差法”，首先得到；

得到 的直線方程為．即．

聯立 消去 ，整理得．

設 ，，應用韋達定理，得到．

根據在橢圓的內部，得到

進一步得到的取值范圍為．

試題解析：（1） 因為焦距為，所以．因為橢圓過點（，），

所以．故， 2分

所以橢圓的方程為 4分

（2） 由題意，當直線AB垂直于軸時，直線AB方程為，此時、 ，得． 5分

當直線不垂直于軸時，設直線的斜率為()， ()， ，

由 得，則，

故． 6分

此時，直線斜率為， 的直線方程為．

即．

聯立 消去 ，整理得．

設 ，

所以，． 9分

于是

． 11分

由于在橢圓的內部，故

令，，則． 12分

又，所以．

綜上，的取值范圍為． 13分

考點：橢圓的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，韋達定理，平面向量的數量積.