Question

已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，且滿足：，則三棱錐P-ABC的側面積的最大值為（ ）
A．2
B．1
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由已知，三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為的球面上，且滿足：，則在P點處PA，PB，PC兩兩垂直，球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，由基本不等式易得到三棱錐P-ABC的側面積的最大值．
解答：解：∵，
∴PA，PB，PC兩兩垂直，
又∵三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，
∴以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線即為球的一條直徑．
∴4=PA²+PB²+PC²，
則由基本不等式可得PA²+PB²≥2PA•PB，PA²+PC²≥2PA•PC，PB²+PC²≥2PB•PC，
即4=PA²+PB²+PC²≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
則三棱錐P-ABC的側面積S=（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤2，
則三棱錐P-ABC的側面積的最大值為2，
故選A
點評：本題考查的知識點是棱錐的側面積，基本不等式，棱柱的外接球，其中根據已知條件，得到棱錐的外接球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，是解答本題的關鍵．