Question

 

將邊長為1的正三角形按如圖所示的方式放置，其中頂點與坐標原點重合.記邊所在直線的傾斜角為，已知.

（Ⅰ）試用表示的坐標（要求將結果化簡為形如的形式）；

（Ⅱ）定義：對于直角坐標平面內的任意兩點、，稱為、兩點間的“taxi距離” ，并用符號表示.試求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

 本小題主要考查三角函數的定義、兩角和與差的三角函數公式、平面向量等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．滿分13分．

解：（Ⅰ）解法一：因為，， ……2分

所以        ………3分

.                    ………7分

解法二：平移到（移到，移到），………2分

由的坐標與的坐標相等，都等于點的坐標. ………3分

由平幾知識易得直線的傾斜角為，

∵，∴根據三角函數的定義可得，

所以.  ………7分

（Ⅱ）解法一：，………8分

∵，∴，    ………9分

∴     ………11分

，              ………12分

所以當時，取得最大值.     ………13分

解法二：，………8分

∵，∴，即，

∴.  ………9分

∵，∴，

∴,   ………10分

+

      ,    ………12分

所以當時，取得最大值.     ………13分