Question

（Ⅰ）已知sin(α+β)=

2

3

，sin(α-β)=

1

5

，求

tanα

tanβ

的值；
（Ⅱ）已知sinα=

2

5

，α是第二象限角，且tan（α+β）=3，求tanβ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用sin(α+β)=

2

3

，sin(α-β)=

1

5

，通過兩角和與差的三角函數，解方程組，然后求

tanα

tanβ

的值；
（Ⅱ）通過sinα=

2

5

，α是第二象限角，求出余弦值，然后通過tan（α+β）=3，利用tanβ=tan（α+β-α），即可求tanβ的值．

解答：（本題滿分（14分），第（Ⅰ）問（7分），第（Ⅱ）問7分）
（Ⅰ）解：∵sin（α+β）=

2

3

，sin（α+β）=

1

5

∴

sinαcosβ+cosαsinβ= 2 3 sinαcosβ-cosαsinβ= 1 5

得

sinαcosβ= 13 30 cosαsinβ= 7 30

…（4分）
∴

tanα

tanβ

=

sinα cosα

sinβ cosβ

=

sinαcosβ

cosαsinβ

=

13 30

7 30

=

13

7

…（7分）    
（Ⅱ）解：∵sinα=

2

5

，α為第二象限角，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

1- 4 5

=-

1

5

∴tanα=

sinα

cosα

=

2 5

- 1 5

=-2…（11分）
∴tanβ=tan（α+β-α）=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)•tanα

=

3-(-2)

1+3×(-2)

=-1 …（14分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，角的變換的技巧的應用，考查計算能力．