Question

已知正數a，b，c滿足a+b+c=1證明  a3+b3+c3≥

a2+b2+c2

3

．

Answer 1

分析：由已知條件可得，要證原不等式成立，只要證   3a³+3b³+3c³-a²-b²-c²≥0 即可，
即   2（a³+b³+c³ ）+a²（a-1）+b²（b-1）+c²（c-1）≥0，
即  2（a³+b³+c³ ）+a²（-b-c）+b²（-a-c）+c²（-a-b）≥0，即 a³+b³+c³+a³+b³+c³-a²b-a²c-b²a-b²c-c²a-c²b≥0，
即 a² （a-b）+a²（a-c）+b²（b-a）+b²（b-c）+c²（c-a）+c²（c-b）≥0，
故只要證   （a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（c+a） （c-a）²≥0  ①即可，而①顯然成立．

解答：證明：∵正數a，b，c滿足a+b+c=1，要證 a3+b3+c3≥

a2+b2+c2

3

，
只要證   3a³+3b³+3c³-a²-b²-c²≥0，
只要證   2（a³+b³+c³ ）+a²（a-1）+b²（b-1）+c²（c-1）≥0，
只要證   2（a³+b³+c³ ）+a²（-b-c）+b²（-a-c）+c²（-a-b）≥0，
只要證   a³+b³+c³+a³+b³+c³-a²b-a²c-b²a-b²c-c²a-c²b≥0，
只要證   a² （a-b）+a²（a-c）+b²（b-a）+b²（b-c）+c²（c-a）+c²（c-b）≥0，
只要證   （a-b）（a²-b²）+（b-c） （b²-c²）+（c-a）（c²-a²）≥0，
只要證   （a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（c+a） （c-a）²≥0，
而由題意可知  （a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（c+a） （c-a）²≥0  成立，故要證的不等式成立．

點評：本題考查用分析法證明不等式，關鍵是尋找是不等式成立的充分條件．