Question

（考生注意：請在下列兩題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題評分）
（1）在極坐標系中，若過點（1，0）且與極軸垂直的直線交曲線ρ=4cosθ于A、B兩點，則|AB|=

2

3

（2）已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有實數解，則a的取值范圍為

[-3，-1）

．

Answer 1

分析：（1）先求出直線方程，把曲線的極坐標方程化為普通方程，把 x=1 代入  （x-2）²+y²=4  可得 y=±

3

，故|AB|=±2

3

．
（2）由已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有解，分離出參數a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，轉化為求函數的值域．

解答：解：（1）過點（1，0）且與極軸垂直的直線方程為 x=1，曲線ρ=4cosθ 即 ρ²=4ρcosθ，
即 x²+y²=4x，（x-2）²+y²=4．  把 x=1 代入  （x-2）²+y²=4  可得
y=±

3

，故|AB|=±2

3

，
故答案為：±2

3

．
（2）分離出參數a+1，
a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，
∵sinx|≤1，
∴a+1=|2^x-1|-|2^x+1|的最小值為：-2，最大值為0，
∴-3≤a≤-1．
則a的取值范圍為[-3，-1）
故答案為：[-3，-1）．

點評：（1）本小題考查求直線的極坐標方程，把極坐標方程化為普通方程的方法，以及求直線被圓截得的弦長．
（2）通過構造函數，從而借助于函數的圖象研究了一元二次函數值域的問題，將復雜問題簡單化．整個解題過程充滿對函數、方程和不等式的研究和轉化，也充滿了函數與方程思想的應用．