Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥CB₁，則A₁B與AC₁所成的角為

π

2

．

Answer 1

分析：取AB、A₁B₁的中點，連接CD、C₁E，可證AE、B₁D分別是AC₁、CB₁在平面ABB₁A₁的射影，由三垂線逆定理得：A₁B⊥B₁D，再證A₁B⊥AE，
然后由三垂線定理得：A₁B⊥AC₁．

解答：解：取AB、A₁B₁的中點，連接CD、C₁E，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，∴CD⊥平面ABB₁A₁，C₁E⊥平面ABB₁A₁，
∴AE、B₁D分別是AC₁、CB₁在平面ABB₁A₁的射影，
∵A₁B⊥CB₁，由三垂線逆定理得：A₁B⊥B₁D，
∵AD∥B₁E，AD=B₁E，∴四邊形ADB₁E為平行四邊形，∴AE∥DB₁，
∴A₁B⊥AE，
由三垂線定理得：A₁B⊥AC₁，
∴A₁B與AC₁所成的角為

π

2

．
故答案為

π

2

．

點評：本題主要考查三垂線定理與逆定理的應(yīng)用，三垂線定理與逆定理是空間中證明線線垂直的常用方法．