Question

13．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱A₁A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=3，AC=AA₁=6，AD=CD=5，且點M和N分別為B₁C和D₁D的中點．
（1）求證：MN∥平面ABCD；
（2）求二面角D₁-AC-B₁的正切值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點建立空間直角坐標系，利用向量法能證明MN∥平面ABCD．
（2）求出兩個平面的法向量，可計算兩個平面所成二面角的余弦值的大小，再求正切值即可．

解答 （1）證明：如圖，以A為坐標原點，以AC、AB、AA₁所在直線分別為x、y、z軸建系，
則A（0，0，0），B（0，3，0），C（6，0，0），D（3，-4，0），
A₁（0，0，6），B₁（0，3，6），C₁（6，0，6），D₁（3，-4，6），
又∵M、N分別為B₁C、D₁D的中點，∴M（3，$\frac{3}{2}$，3），N（3，-4，3）．
由題可知：$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面ABCD的一個法向量，$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{11}{2}$，0），
∵$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{MN}$=0，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
（2）解：由（1可知：$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（3，-4，6），$\overrightarrow{AC}$=（6，0，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，3，6），
設$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，
得$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y+6z=0}\\{6x=0}\end{array}\right.$，
取z=2，得$\overrightarrow{m}$=（0，3，2），
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ACB₁的法向量，
得$\left\{\begin{array}{l}{3y+6z=0}\\{6x=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-2，1），
∵cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-6+2}{\sqrt{13}•\sqrt{5}}$=-$\frac{4}{\sqrt{65}}$，∴二面角D₁-AC-B₁的正切值為$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查直線與平面平行和、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．