【題目】某地區(qū)高考實行新方案,規(guī)定:語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科目,考生還須從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目.若一個學(xué)生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目,則稱該學(xué)生的選考方案確定;否則,稱該學(xué)生的選考方案待確定.例如,學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個選考科目,則學(xué)生甲的選考方案確定,“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案.
某學(xué)校為了解高一年級名學(xué)生選考科目的意向,隨機(jī)選取
名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查,統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表:
性別 | 選考方案確定情況 | 物理 | 化學(xué) | 生物 | 歷史 | 地理 | 政治 |
男生 | 選考方案確定的有 | ||||||
選考方案待確定的有 | |||||||
女生 | 選考方案確定的有 | ||||||
選考方案待確定的有 |
(1)估計該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人?
(2)假設(shè)男生、女生選擇選考科目是相互獨立的.從選考方案確定的名學(xué)生中隨機(jī)選出
名,試求在選取的
名學(xué)生中恰有
名男生的條件下兩名學(xué)生的選考方案中都含有歷史學(xué)科的概率;
(3)從選考方案確定的名男生中隨機(jī)選出
名,設(shè)隨機(jī)變量
表示所選
人中選考方案完全相同的人數(shù)(若有
組
人選考方案完全相同,則
),求
的分布列及數(shù)學(xué)期望
.
【答案】(1)140人(2)(3)見解析
【解析】
根據(jù)抽取的樣本數(shù)、用總?cè)藬?shù)乘以樣本中確定選考方案的概率,再乘以確定選考方案中選擇生物的比例即可;
利用條件概率公式,先求出選考方案確定的
名學(xué)生中隨機(jī)選出
名恰有
名男生的概率,再分別求出男生、女生選考方案中含有歷史學(xué)科的概率,代入條件概率公式求解即可;
由已知得
的取值為
,利用排列組合分別求出對應(yīng)的概率,列出分布列,代入數(shù)學(xué)期望公式求解即可.
由題可知,選考方案確定的男生中確定選考生物的學(xué)生有
人,
選考方案確定的女生中確定選考生物的學(xué)生有人,
該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有人.
由數(shù)據(jù)可知,從選考方案確定的
名學(xué)生中隨機(jī)選出
人,
選取的名學(xué)生中恰有
名男生的概率為
男生選考方案中含有歷史學(xué)科的概率為.
女生選考方案中含有歷史學(xué)科的概率為,
所以在選取的名學(xué)生中恰有
名男生的條件下兩名學(xué)生的選考方案中都含有歷史學(xué)科的概率為
.
由數(shù)據(jù)可知,選考方案確定的男生中有
人選擇物理、化學(xué)和生物;
有人選擇物理、化學(xué)和歷史;
有人選擇物理、化學(xué)和地理;有
人選擇物理.化學(xué)和政治.
由已知得的取值為
.
所以的分布列為
所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線
與曲線
,(
為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)寫出曲線,
的極坐標(biāo)方程;
(2)在極坐標(biāo)系中,已知與
,
的公共點分別為
,
,
,當(dāng)
時,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左,右焦點分別為
,
,
,M是橢圓E上的一個動點,且
的面積的最大值為
.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程,
(2)若,
,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,
,記直線AD,BC的斜率分別為
,
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為
,直線l與曲線C交于不同的兩點A,B.
(1)求曲線C的參數(shù)方程;
(2)若點P為直線與x軸的交點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的圖象在
處取得極值4.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對于函數(shù),若存在兩個不等正數(shù)
,
,當(dāng)
時,函數(shù)
的值域是
,則把區(qū)間
叫函數(shù)
的“正保值區(qū)間”.問函數(shù)
是否存在“正保值區(qū)間”,若存在,求出所有的“正保值區(qū)間”;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)(
為自然對數(shù)的底數(shù))時,求
的最小值;
(2)討論函數(shù)零點的個數(shù);
(3)若對任意恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗,某海鮮商家的海產(chǎn)品每只質(zhì)量(克)在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布.
(1)隨機(jī)購買10只該商家的海產(chǎn)品,求至少買到一只質(zhì)量小于克該海產(chǎn)品的概率.
(2)2020年該商家考慮增加先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入,該商家欲預(yù)測先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入為49千元時的年收益增量.現(xiàn)用以往的先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入(千元)與年收益增量
(千元)(
)的數(shù)據(jù)繪制散點圖,由散點圖的樣本點分布,可以認(rèn)為樣本點集中在曲線
的附近,且
,
,
,
,
,
,
,其中
,
=
.根據(jù)所給的統(tǒng)計量,求
關(guān)于
的回歸方程,并預(yù)測先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入為49千元時的年收益增量.
附:若隨機(jī)變量,則
,
;
對于一組數(shù)據(jù),
,
,
,其回歸線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法錯誤的是( )
A.命題“若,則
”的逆否命題為“若
,則
”
B.命題“,
”是假命題
C.若命題、
均為假命題,則命題
為真命題
D.若是定義在R上的函數(shù),則“
”是“
是奇函數(shù)”的必要不允分條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)選修4—4,坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線,直線
:
(
為參數(shù)).
(I)寫出曲線的參數(shù)方程,直線
的普通方程;
(II)過曲線上任意一點
作與
夾角為
的直線,交
于點
,
的最大值與最小值.
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