Question

在△ABC中，若

cosA+2cosC

cosA+2cosB

=

b

c

，則△ABC是（　　）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰或直角三角形

Answer 1

分析：根據正弦定理將已知條件中的等式變形，結合三角恒等變換化簡得cosA[2sin（B-C）-（sinB-sinC）]=0，可得cosA=0或2sin（B-C）=sinB-sinC，再分情況討論即可得到△ABC是等腰三角形或直角三角形．

解答：解：∵

cosA+2cosC

cosA+2cosB

=

b

c

，∴c（cosA+2cosC）=b（cosA+2cosB）
由正弦定理，得sinC（cosA+2cosC）=sinB（cosA+2cosB）
即cosA（sinB-sinC）=sin2C-sin2B=2cos（B+C）sin（C-B）
∵cos（B+C）=-cosA
∴cosA（sinB-sinC）=2cosAsin（B-C），移項得cosA[2sin（B-C）-（sinB-sinC）]=0
∴cosA=0或2sin（B-C）=sinB-sinC
①當cosA=0時，A=

π

2

，可得△ABC是直角三角形；
②若2sin（B-C）=sinB-sinC，
化簡得sin

B-C

2

（2cos

B-C

2

-cos

B+C

2

）=0，
∵2cos

B-C

2

-cos

B+C

2

≠0，
∴sin

B-C

2

=0，可得B-C=0，得B=C，△ABC是等腰三角形
綜上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形
故選：D

點評：本題給出三角形的邊角關系式，判斷三角形的形狀，著重考查了正弦定理解三角形和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．