(Ⅰ)證明:由題設知(t-1)S
1=2ta
1-t-1,解得a
1=1,
由(t-1)S
n=2ta
n-t-1,得(t-1)S
n+1=2ta
n+1-t-1,
兩式相減得(t-1)a
n+1=2ta
n+1-2ta
n,
∴

(常數(shù)).
∴數(shù)列{a
n}是以1為首項,

為公比的等比數(shù)列.…(4分)
(Ⅱ)解:∵q=f (t)=

,b
1=a
1=1,b
n+1=

f (b
n)=

,
∴

=

+1,
∴數(shù)列{

}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,
∴

.…(8分)
(III)解:當t=

時,由(I)知a
n=

,于是數(shù)列{c
n}為:1,-1,

,2,2,

,-3,-3,-3,

,…
設數(shù)列{a
n}的第k項是數(shù)列{c
n}的第m
k項,即a
k=

,
當k≥2時,m
k=k+[1+2+3+…+(k-1)]=

,
∴m
9=

-45.
設S
n表示數(shù)列{c
n}的前n項和,則S
45=[1+

+

+…+

]+[-1+(-1)
2×2×2+(-1)
3×3×3+…+(-1)
8×8×8].
∵1+

+

+…+

=

=2-

,
-1+(-1)
2×2×2+(-1)
3×3×3+…+(-1)
8×8×8=-1+2
2-3
2+4
2-5
2+6
2-7
2+8
2=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(8+7)(8-7)=3+7+11+15=36.
∴S
45=2-

+36=38-

.
∴S
50=S
45+(c
46+c
47+c
48+c
49+c
50)=38-

+5×(-1)
9×9=-7

.
即數(shù)列{c
n}的前50項之和為-7

.…(12分)
分析:(Ⅰ)利用數(shù)列遞推式,再寫一式,兩式相減,即可證得數(shù)列{a
n}是以1為首項,

為公比的等比數(shù)列;
(Ⅱ)確定數(shù)列{

}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,可求數(shù)列{

}的通項公式;
(III)確定數(shù)列{c
n}為:1,-1,

,2,2,

,-3,-3,-3,

,…,再分組求和,即可求得數(shù)列{c
n}的前50項之和.
點評:本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項與求和,考查學生的計算能力,屬于中檔題.