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設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且(t-1)Sn=2tan-t-1(其中t為常數(shù),t>0,且t≠1).
(I)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列;
(II)若數(shù)列{an}的公比q=f(t),數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn+1=數(shù)學公式f(bn),求數(shù)列{數(shù)學公式}的通項公式;
(III)設t=數(shù)學公式,對(II)中的數(shù)列{an},在數(shù)列{an}的任意相鄰兩項ak與ak+1之間插入k個數(shù)學公式(k∈N*)后,得到一個新的數(shù)列:a1,數(shù)學公式,a2,數(shù)學公式,數(shù)學公式,a3數(shù)學公式數(shù)學公式,數(shù)學公式,a4…,記此數(shù)列為{cn}.求數(shù)列{cn}的前50項之和.

(Ⅰ)證明:由題設知(t-1)S1=2ta1-t-1,解得a1=1,
由(t-1)Sn=2tan-t-1,得(t-1)Sn+1=2tan+1-t-1,
兩式相減得(t-1)an+1=2tan+1-2tan,
(常數(shù)).
∴數(shù)列{an}是以1為首項,為公比的等比數(shù)列.…(4分)
(Ⅱ)解:∵q=f (t)=,b1=a1=1,bn+1=f (bn)=,
=+1,
∴數(shù)列{}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,
.…(8分)
(III)解:當t=時,由(I)知an=,于是數(shù)列{cn}為:1,-1,,2,2,,-3,-3,-3,,…
設數(shù)列{an}的第k項是數(shù)列{cn}的第mk項,即ak=
當k≥2時,mk=k+[1+2+3+…+(k-1)]=,
∴m9=-45.
設Sn表示數(shù)列{cn}的前n項和,則S45=[1+++…+]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8].
∵1+++…+==2-,
-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8=-1+22-32+42-52+62-72+82
=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(8+7)(8-7)=3+7+11+15=36.
∴S45=2-+36=38-
∴S50=S45+(c46+c47+c48+c49+c50)=38-+5×(-1)9×9=-7
即數(shù)列{cn}的前50項之和為-7.…(12分)
分析:(Ⅰ)利用數(shù)列遞推式,再寫一式,兩式相減,即可證得數(shù)列{an}是以1為首項,為公比的等比數(shù)列;
(Ⅱ)確定數(shù)列{}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,可求數(shù)列{}的通項公式;
(III)確定數(shù)列{cn}為:1,-1,,2,2,,-3,-3,-3,,…,再分組求和,即可求得數(shù)列{cn}的前50項之和.
點評:本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項與求和,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項的和.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列an的前n項的和為Sn,a1=
3
2
Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項公式;
(3)設bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內的整點(整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關系(只需給出結果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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