Question

下列等式：
①

C

1 n

+

2C

2 n

+

3C

3 n

+…+

nC

n n

=n•2^n-1
②

C

1 n

-

2C

2 n

+

3C

3 n

+…+(-1)n-1

nC

n n

=0
③l×l!+2×2!+3×3!+…+n×n!=（n+1）!-1
④

C 0 n C

n n

+

C 1 n C

n-1 n

+

C 2 n C

n-2 n

+…+

C n n C

n n

=

(2n)!

n!×n!

其中正確的個數為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據 （1+x）ⁿ=1+

C

1 n

x+

C

2 n

x²+…+

C

n n

xⁿ，兩邊同時對x求導數，再令x=1，可得①正確．
在（A）式中，令x=-1，可得0=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，故②正確．
根據 k•k!=[（k+1）-1]•k!=（k+1）!-k!，可得③正確．
根據等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ 成立，利用二項式定理求得等式左邊xⁿ的系數與等式右邊xⁿ的系數相等，可得④正確．

解答：解：∵（1+x）ⁿ=1+

C

1 n

x+

C

2 n

x²+…+

C

n n

xⁿ，兩邊同時對x求導數，可得
n（1+x）^n-1=

C

1 n

+2x

C

2 n

+3x²

C

3 n

+…+nx^n-1

C

n n

，（A）
再令x=1，可得n2^n-1=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，故①正確．
在（A）式中，令x=-1，可得0=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，故②正確．
∵k•k!=[（k+1）-1]•k!=（k+1）!-k!，
∴1×1!+2×2!+3×3!+…+n•n!=[2!-1!]+[3!-2!]+[4!-3!]+…+[（n+1）!-n!]=（n+1）!-1，
故③正確．
∵等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ 成立，
利用二項式定理可得等式左邊xⁿ的系數為

C 0 n C

n n

+

C 1 n C

n-1 n

+

C 2 n C

n-2 n

+…+

C

n n

•

C

0 n

=

(C

0 n

)2+

(C

1 n

)2+

(C

2 n

)2+…+

(C

n n

)2．
而等式右邊利用二項式定理可得xⁿ的系數為

C

n 2n

=

(2n)!

(2n-n)!•n!

=

(2n)!

n!•n!

，
故

C 0 n C

n n

+

C 1 n C

n-1 n

+

C 2 n C

n-2 n

+…+

C n n C

n n

=

(2n)!

n!×n!

成立，
故④正確．
故選D．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，屬于中檔題．