Question

如圖，已知曲線．從C上的點Q_n（x_n，y_n）作x軸的垂線，交C_n于點P_n，再從P_n作y軸的垂線，交C于點Q_n+1（x_n+1，y_n+1）．設x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）設△P_iQ_iQ_i+1（i∈N^*）和面積為，求證

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知，，由此可知
（II）由（I）可猜想，然后用數學歸納法證明．
（III）由題意知x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）++（x₂-x₁）+x₁=，由此可知=，所以
解答：解：（I）由題意知，，
∴（2分）
（II）由（I）猜想，
下面用數學歸納法證明；
（1）當n=1時，已證得成立；
（2）假設當n=k時，猜想成立，
即，由已知得：
當n=k+1時，由
∵，
∴a_k+1=（x_k+1+2^-k-1）-（x_k+2^-k）
=（x_k+1-x_k）+（2^-k-1-2^-k）
=2^-k+（2^-k-1-2^-k）
=
所以當n=k+1時，猜想也成立，綜合（1）（2）得（6分）
（III）x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）++（x₂-x₁）+x₁=（8分）
∴=∵2•2ⁿ-2≥2ⁿ，2•2ⁿ-1≥3，∴，（10分）
∴（12分）
點評：本題考查數列性質的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．