Question

如圖，有一個以圓心角為60°，半徑為的扇形湖面AOB．現欲在弧AB上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點Q在半徑OA上，點N，M在半徑OB上，將該扇形湖面內隔為四個養殖區域．設矩形PNMQ區域的面積為y；
（1）當∠POB=45°時，求矩形PNMQ的面積；
（2）設∠POB=θ，將y表示成θ的函數關系式，并求出y的最大值．

Answer 1

解：（1）當∠POB=45°時，∵，
∴，，
又，
∴，…（3分），
所以矩形的面積=MN×PN=×．…（5分）
（2）因為，，，
所以…（7分）
∴，即，（9分）
∴，…（12分）
∵，∴…（13分）
所以．…（14分）
分析：（1）分別計算MN、PN，即可求得矩形的面積=MN×PN；
（2）計算PN、MN的長，從而可得面積表達式，再利用輔助角公式化簡函數，利用角的范圍，即可求得面積的最大值．
點評：本題考查矩形面積的計算，考查三角函數知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．