Question

【題目】已知函數是自然對數的底數.

（1）討論函數在上的單調性；

（2）當時，若存在，使得，求實數的取值范圍.（參考公式：）

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求導數，利用導數的正負，分為和，可求函數單調區間；（2）的最大值減去的最小值大于或等于，由單調性知，的最大值是或，最小值，由的單調性，判斷與的大小關系，再由的最大值減去最小值大于或等于求出的取值范圍.

試題解析：（1）.

當時，，當時，，∴，

所以，故函數在上單調遞增；

當時，，當時，，∴，

所以，故函數在上單調遞增，

綜上，在上單調遞增，

（2），因為存在，使得，所以當時，.

，

①當時，由，可知，∴；

②當時，由，可知，∴；

③當時，，∴在上遞減，在上遞增，

∴當時，，

而，

設，因為（當時取等號），

∴在上單調遞增，而，

∴當時，，∴當時，，

∴，

∴，∴，即，

設，則，

∴函數在上為增函數，∴，

既的取值范圍是.