Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條準線被它的兩條漸近線所截得線段的長度恰好為它的一個焦點到一條漸近線的距離，則該雙曲線的離心率是

2

．

Answer 1

分析：該雙曲線的兩條漸近線方程為y=±

b

a

x，其右準線l的方程為：x=

a2

c

，可求得右準線l被它的兩條漸近線所截得線段的長度，
再利用點到直線間的距離公式可求得焦點F（c，0）到漸近線y=

b

a

x的距離，列等式即可求得該雙曲線的離心率．

解答：解：∵該雙曲線的兩條漸近線方程為y=±

b

a

x，其右準線l的方程為：x=

a2

c

，
∴右準線l被它的兩條漸近線所截得線段的長度d₁=2×

b

a

×

a2

c

=

2ab

c

；
又焦點F（c，0）到漸近線y=

b

a

x的距離d₂=

bc

a2+b2

=

bc

c

=b，
d₁=d₂，
∴

2ab

c

=b，
∴c=2a．
∴e=2．
故答案為：2．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，考查點到直線間的距離公式，考查分析與解方程的能力，屬于中檔題．