Question

（1）點(diǎn)M到點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x=-3的距離小1，求點(diǎn)M滿足的方程．
（2）曲線上點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離比是常數(shù)2，求曲線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，點(diǎn)M（x、y）到點(diǎn)F（2，0）的距離和到直線x+2=0的距離相等，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線x+2=0為準(zhǔn)線的拋物線，方程為 y²=2Px，=2．
（2）設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，將已知條件中的幾何關(guān)系用坐標(biāo)表示，化簡方程，據(jù)橢圓方程的形式判斷出動點(diǎn)的軌跡形狀．
解答：解：（1）∵動點(diǎn)M（x、y）到點(diǎn)F（2，0）的距離比到直線x+3=0的距離小1，
∴點(diǎn)M（x、y）到點(diǎn)F（2，0）的距離和到直線x+2=0的距離相等，
點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線x+2=0為準(zhǔn)線的拋物線．
∴=2，∴P=4，故拋物線方程為y²=8x，
（2）設(shè)d是點(diǎn)M到直線l：x=8的距離，根據(jù)題意得，點(diǎn)M的軌跡就是集合P={M|=2}，（4分）
由此得 =2．將上式兩邊平方，并化簡，得 ．
曲線方程為：．
點(diǎn)評：本題考查用定義法求點(diǎn)的軌跡方程，拋物線的定義和性質(zhì)的應(yīng)用．判斷動點(diǎn)的軌跡問題常常通過求出動點(diǎn)的軌跡方程，據(jù)方程的特殊形式判斷出動點(diǎn)的軌跡．