Question

（1）若函數f(x)=

x+a

2x2+bx+3

在[-1，1]上是奇函數，求f（x）的解析式
（2）已知函數f（x）是定義在（-5，5）上的奇函數又是減函數，試解關于x的不等式f（3x-2）+f（2x+1）＞0．

Answer 1

分析：（1）要求f（x）的解析式，可用函數f(x)=

x+a

2x2+bx+3

在[-1，1]上是奇函數，利用f（0）=0，f（-1）=-f（1）求得a，b即可；
（2）利用f（x）奇函數，只需將f（3x-2）+f（2x+1）＞0化為f（3x-2）＞-f（2x+1）=f（-2x-1），再利用f（x）是定義在（-5，5）上的減函數，可得-5＜3x-2＜-2x-1＜5，從而可求得x的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）在[{-1，1}]上為奇函數
∴f（0）=0，f（{-1}）=-f（1）
解得a=b=0，
∴f（x）=

x

2x2+3

∵f（-x）=

x

2x2+3

=-f（x）
∴f（x）=

x

2x2+3

即為所求．
（2）由f（3x-2）+f（2x+1）＞0得，f（3x-2）＞-f（2x+1）
因為f（x）是定義在（-5，5）上的奇函數又是減函數，
所以f（3x-2）＞f（-2x-1）
所以-5＜3x-2＜-2x-1＜5
解得-1＜x＜

1

5

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的綜合，著重考察學生對函數的奇偶性與單調性的理解與靈活應用，屬于中檔題．