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函數f(x)=lnx-
a(x-1)
x
(x>0,a∈R)

(1)試求f(x)的單調區間;
(2)當a>0時,求證:函數f(x)的圖象存在唯一零點的充要條件是a=1;
(3)求證:不等式
1
lnx
-
1
x-1
1
2
對于x∈(1,2)恒成立.
分析:(1)函數的定義域是(0,+∞),求出導數,分a≤0和a>0兩種情況討論導數的符號,得到單調區間.
(2)由函數的單調性知,函數f(x)的圖象存在唯一零點,當且僅當f(a)=0.
(3)將要證的不等式等價轉化為g(x)>0在區間(1,2)上恒成立,利用導數求出g(x)的最小值,
只要最小值大于0即可.
解答:解:(1)函數的定義域是(0,+∞),導數f′(x)=
1
x
-
a
x2

 若a≤0,導數f′(x)在(0,+∞)上大于0,函數的單調增區間是(0,+∞);
若a>0,在(a,+∞)上,導數大于0,函數的單調增區間是(a,+∞),
在(a,+∞)上,導數小于0,單調減區間是(0,a)
(2)由第一問知道,當a>0時候,函數f(x)在(0,a)上遞減,在(a,+∞)上遞增,
所以要使得函數f(x)的圖象存在唯一零點,當且僅當f(a)=0,即a=1
(3)要證
1
lnx
-
1
x-1
1
2
,即證
1
lnx
1
x-1
+
1
2
,即證lnx>
2x-2
x+1

g(x)=lnx-
2x-2
x+1
,∴g′(x)=
1
x
-
4
(x+1)2
>0,x∈(1,2)
恒成立
∴g(x)min>g(1)=0,∴g(x)>0,即
1
lnx
-
1
x-1
1
2
點評:本題考查利用導數求函數的單調區間即單調性,函數的零點及函數恒成立問題,要證g(x)>0,只要證g(x)
的最小值大于0.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
lnx+ax
(a∈R)

(Ⅰ)求f(x)的極值;
(Ⅱ)若函數f(x)的圖象與函數g(x)=1的圖象在區間(0,e2]上有公共點,求實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•南開區二模)設函數f(x)=lnx-
1
2
ax2+x

(1)當a=2時,求f(x)的最大值;
(2)令F(x)=f(x)+
1
2
ax2-x+
a
x
(0<x≤3),以其圖象上任意一點P(x0,y0)為切點的切線的斜率k≤
1
2
恒成立,求實數a的取值范圍;
(3)當a=0時,方程mf(x)=x2有唯一實數解,求正數m的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)=lnx-
12
x2
的單調遞增區間是
(0,1]
(0,1]

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科目:高中數學 來源: 題型:

當0≤a<
1
2
時,討論函數f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1
(a∈R)的單調性.

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科目:高中數學 來源: 題型:

給出下列四個命題:
①命題p:?x∈R,sinx≤1,則¬p:?x∈R,sinx<1;
②當x>1時,有1nx+
1
lnx
≥2

③函數f(x)=
lnx-x2+2x,(x>0)
2x+1,(x≤0)
的零點個數有3個;
④設有五個函數y=x-1,y=x
1
2
,y=x3,y=x2,y=2|x|
,其中既是偶函數又在(0,+∞)上是增函數的有2個.
其中真命題的個數是(  )

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同步練習冊答案
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