Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l不過點(diǎn)M，試問k_MA+k_MB是否為定值？并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴，-----------------------------------------------------（2分）
依題意設(shè)橢圓方程為：
把點(diǎn)（4，1）代入，得b²=5
∴橢圓方程為---------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）把y=x+m代入橢圓方程得：5x²+8mx+4m²-20=0，
由△＞0可得64m²-20（4m²-20）＞0
∴-5＜m＜5---------------------------------------------------（6分）
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=，-----------------------（8分）
∴k_MA+k_MB=+==0，
∴k_MA+k_MB為定值0．------------------（12分）
分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，由離心率的值及橢圓過點(diǎn)（4，1）求出待定系數(shù)，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍；
（Ⅲ）由方程可得到兩根之和、兩根之積，從而可求直線MA，MB斜率之和，化簡可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．