Question

已知數(shù)列{a_n}滿足

an+1

n

=

an

n+1

+

2

n(n+1)

，a1=1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=na_n
（1）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列{2ⁿb_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

分析：（1）對

an+1

n

=

an

n+1

+

2

n(n+1)

兩邊同乘以n（n+1），得（n+1）a_n+1=na_n+2，從而可得b_n+1=b_n+2，由等等差數(shù)列的定義可作出判斷；
（2）由（1）可求得b_n，從而可求得a_n；
（3）表示出2ⁿb_n，利用錯位相減法可求得S_n．

解答：（1）證明：∵

an+1

n

=

an

n+1

+

2

n(n+1)

，
∴（n+1）a_n+1=na_n+2，
∴b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2，
故數(shù)列{b_n}是以b₁=a₁=1為首項，2為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）得b_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴nan=2n-1∴an=

2n-1

n

；
（3）由（2）b_n=2n-1，
∴2nbn=(2n-1)2n，
∴Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)2n，
∴2Sn=1•22+3•23+5•24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)2n+1，
兩式相減，得(1-2)Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)2n+1，
(1-2)Sn=2(2+22+23+…+2n)-2-(2n-1)2n+1=2×

2(1-2n)

1-2

-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Sn=(2n-1)2n+1+6．

點評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、等差關(guān)系的確定及數(shù)列求和，錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．