Question

（2013•安徽）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A，B滿足

.

OA

.

=

.

OB

.

=

OA

•

OB

=2，則點集{P|

OP

=λ

OA

+μ

OB

，

.

λ

.

+

.

μ

.

≤1，λ、μ∈R}所表示的區域面積是（　　）

• A．2

  2

• B．2

  3

• C．4

  2

• D．4

  3

Answer 1

分析：由兩定點A，B滿足

.

OA

.

=

.

OB

.

=

OA

•

OB

=2，說明O，A，B三點構成邊長為2的等邊三角形，設出兩個定點的坐標，再設出P點坐標，由平面向量基本定理，把P的坐標用A，B的坐標及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去絕對值后可得線性約束條件，畫出可行域可求點集P所表示區域的面積．

解答：解：由兩定點A，B滿足

.

OA

.

=

.

OB

.

=

OA

•

OB

=2，說明O，A，B三點構成邊長為2的等邊三角形．
不妨設A（

3

，-1），B（

3

，1）．再設P（x，y）．
由

OP

=λ

OA

+μ

OB

，得：(x，y)=(

3

λ，-λ)+(

3

μ，μ)=(

3

(λ+μ)，μ-λ)．
所以

λ+μ= 3 3 x μ-λ=y

，解得

λ= 3 6 x- 1 2 y μ= 3 6 x+ 1 2 y

①．
由|λ|+|μ|≤1．
所以①等價于

3 6 x- 1 2 y≥0 3 6 x+ 1 2 y≥0 x≤ 3

或

3 6 x- 1 2 y≥0 3 6 x+ 1 2 y＜0 y≥-1

或

3 6 x- 1 2 y＜0 3 6 x+ 1 2 y≥0 y≤1

或

3 6 x- 1 2 y＜0 3 6 x+ 1 2 y＜0 x≥- 3

．
可行域如圖中矩形ABCD及其內部區域，

則區域面積為2×2

3

=4

3

．
故選D．

點評：本題考查了平面向量的基本定理及其意義，考查了二元一次不等式（組）所表示的平面區域，考查了數學轉化思想方法，解答此題的關鍵在于讀懂題意，屬中檔題．