Question

【題目】設{an}是公比為正整數的等比數列，{bn}是等差數列，且a1a2a3=64，b1+b2+b3=﹣42，6a1+b1=2a3+b3=0．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）設pn= ，數列{pn}的前n項和為Sn ．
①試求最小的正整數n0 ， 使得當n≥n0時，都有S2n＞0成立；
②是否存在正整數m，n（m＜n），使得Sm=Sn成立？若存在，請求出所有滿足條件的m，n；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}的公比為q＞0，等差數列{bn}的公差為d，∵a1a2a3=64，b1+b2+b3=﹣42，6a1+b1=2a3+b3=0．

∴ =64，3b2=﹣42， +b2﹣d=2a2q+b2+d=0，

聯立解得a2=4，b2=﹣14，q=2，d=﹣2．

∴an= =4×2n﹣2=2n，bn=b2+（n﹣2）d=﹣14﹣2（n﹣2）=﹣2n﹣10

（2）解：①∵pn= ，

數列{pn}的前2n項和S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）

= ﹣14n+ = ﹣ ﹣2n2﹣12n．

n=1，2，3時，S2n＜0．n≥4時，都有S2n＞0．∴最小的正整數n0=4，使得當n≥n0時，都有S2n＞0成立．

②由S1=2，S2=﹣12，S3=﹣12+23=﹣4，S4=﹣22，S5=﹣22+25=10，

S6=﹣12，S7=﹣12+27=116．

由①可知：使得當n≥4時，都有S2n＞0成立，而an=2n＞0．

因此n≥8時，都有Sn＞0，且Sn單調遞增．

假設存在正整數m，n（m＜n），使得Sm=Sn成立，

則取m=2，n=6時，Sm=Sn=﹣12成立，

由n≥8時，都有Sn＞0，且Sn單調遞增，S8=90．因此Sm=Sn不可能成立．

綜上可得：只有m=2，n=6時，使得Sm=Sn成立．

【解析】（1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出．（2）①pn= ，可得數列{pn}的前2n項和S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）= ﹣ ﹣2n2﹣12n．n=1，2，3時，S2n＜0．n≥4時，都有S2n＞0．即可得出．②由S1=2，S2=﹣12，S3=﹣4，S4=﹣22，S5=10，S6=﹣12，S7=116．由①可知：使得當n≥4時，都有S2n＞0成立，而an=2n＞0．因此n≥8時，都有Sn＞0，且Sn單調遞增．即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數列的前n項和公式的相關知識，掌握前項和公式：．