Question

【題目】設函數f（x）=x2﹣alnx﹣（a﹣2）x．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個零點x1 ， x2（1）求滿足條件的最小正整數a的值；
（Ⅲ）求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣ = ，（x＞0）． 當a≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以函數f（x）單調遞增區間為（0，+∞），此時f（x）無單調減區間；
當a＞0時，由f′（x）＞0，得 ，f′（x）＜0，得 ，
所以函數f（x）的單調增區間為（ ，+∞），單調減區間為（0， ）；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可知函數f（x）有兩個零點，所以a＞0，
f（x）的最小值f（ ）＜0，即﹣a2+4a﹣4aln ＜0，
∵a＞0，∴ ，
令 ，顯然h（a）在（0，+∞）上為增函數，
且
∴存在a0∈（2，3），h（a0）=0，
當a＞a0時，h（a）＞0；當0＜a＜a0時，h（a）＜0，
所以滿足條件的最小正整數a=3．
又當a=3時，f（3）=3（2﹣ln3）＞0， = ＜0，f（1）=0，
所以a=3時，f（x）有兩個零點．
綜上所述，滿足條件的最小正整數a的值為3．
（Ⅲ）證明：不妨設0＜x1＜x2 ，
于是 ﹣alnx1= ﹣alnx2 ，
∴a= ．，
因為 =0，當x∈ 時，f′（x）＜0；當x∈ 時，f′（x）＞0．
故只要證 即可，即證明x1+x2＞ ．，
即證 +（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）＞ ﹣ ﹣2x2 ．
也就是證 ＜ ．
設 =t∈（0，1）．
令m（t）=lnt﹣ ，則m′（t）= ﹣ = ．
∵t＞0，所以m'（t）≥0，
當且僅當t=1時，m'（t）=0，所以m（t）在（0，+∞）上是增函數．
又m（1）=0，所以當m∈（0，1），m（t）＜0總成立，所以原題得證
【解析】（Ⅰ）f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣ = ，（x＞0）．對a分類討論：a≤0，a＞0，即可得出單調性．（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）可知函數f（x）有兩個零點，所以a＞0，f（x）的最小值f（ ）＜0，即﹣a2+4a﹣4aln ＜0，可得 ，令 ，顯然h（a）在（0，+∞）上為增函數，且 ，因此存在a0∈（2，3），h（a0）=0，進而得出小正整數a的值．（Ⅲ）不妨設0＜x1＜x2 ， 于是 ﹣alnx1= ﹣alnx2 ， 可得a= ．由于 =0，當x∈ 時，f′（x）＞0．只要證 即可，即證明x1+x2＞ ，即證 ＜ ．設 =t∈（0，1）．令m（t）=lnt﹣ ，利用導數研究其單調性即可證明結論．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．