Question

【題目】在無窮數列中，是給定的正整數，，．

（Ⅰ）若，寫出的值；

（Ⅱ）證明：數列中存在值為的項；

（Ⅲ）證明：若互質，則數列中必有無窮多項為．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（I）根據以及的值，由此求得的值，找出規律，求得的值.（II）利用反證法，先假設，利用遞推關系找出規律，推出矛盾，由此證明原命題成立.（III）首先利用反證法證明數列中必有“1”項，其次證明數列中必有無窮多項為“1”,由此證得原命題成立.

解：(I)由，以及，可知，，，從開始，規律為兩個和一個，周期為，重復出現，故.

(II)反證法：假設,由于 ，

記.則.

則，,

，，，

依次遞推，有，…，

則

當時，與矛盾.

故存在，使

所以，數列必在有限項后出現值為的項．

(III)首先證明：數列中必有“1”項．用反證法，

假設數列中沒有“1”項，由(II)知，數列中必有“0”項，設第一個“0”項是 ，令，，則必有，

于是，由，則，因此是的因數，

由，則或，因此是的因數.

依次遞推，可得是的因數，因為，所以這與互質矛盾．所以，數列中必有“1”項．

其次證明數列中必有無窮多項為“1”.

假設數列中的第一個“1”項是，令，，

則，

若 ，則數列中的項從開始，依次為“1，1，0”的無限循環，

故有無窮多項為1；

若，則，

若，則進入“1，1，0”的無限循環，有無窮多項為1；

若，則從開始的項依次為，

必出現連續兩個“1”項，從而進入“1，1，0”的無限循環，故必有無窮多項為1．