Question

一個口袋中裝有大小相同的n個紅球（n≥5且n∈N）和5個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球的顏色不同則為中獎．
（1）記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為P．試問當n等于多少時，P的值最大？
（2）在（1）的條件下，將5個白球全部取出后，對剩下的n個紅球全部作如下標記：記上i號的有i個（i=1，2，3，4），其余的紅球記上0號，現從袋中任取一球．ξ表示所取球的標號，求ξ的分布列，期望和方差．

Answer 1

【答案】分析：（1）計算出從n+5個球中任取兩個的方法數和其中兩個球的顏色不同的方法，由古典概型公式，代入數據得到一次摸獎中獎的概率，再利用函數的單調性求出其最大值及相應的p值即可．
（2）所取球的標號為ξ，由題意知ξ的取值是0、1、2、3，4．本題是一個獨立重復試驗，根據上面的p值，代入公式得到結果，寫出分布列，期望和方差．
解答：解：（1）一次摸獎從n+5個球中任取兩個，有C_n+5²種方法．它們是等可能的，其中兩個球的顏色不同的方法有C_n¹C₅¹種，
一次摸獎中獎的概率P=        …（2分）
設每次摸獎中獎的概率為p（0＜p＜1），三次摸獎中（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率，
P==3p³-6p²+3p
∴P′=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），
由此知P在上為增函數，P在上為減函數，…（4分）
∴當時P取得最大值，即，
解得n=20或n=1（舍去），則當n=20時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率最大．…（6分）
（2）由（1）可知：記上0號的有10個紅球，從中任取一球，有20種取法，它們是等可能的故ξ的分布列是

ξ		1	2	3	4
P

…（8分）
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=                                      …（10分）
Dξ=（0-）²×+（1-）²×+（2-）²×+（3-）²×+（4-）²×=      …（12分）
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、等可能事件的概率、離散型隨機變量的期望與方差等基礎知識，求離散型隨機變量期望的步驟：①確定離散型隨機變量 的取值．②寫出分布列，并檢查分布列的正確與否，即看一下所有概率的和是否為1．③求出期望．