【題目】已知函數,
且
.
(1)討論函數的單調性;
(2)當時,試判斷函數
的零點個數.
【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析.
【解析】試題分析:
(1)求出導函數,根據導函數的符號的到函數的單調性;(2)將問題轉化為求方程根的個數的問題處理,分離參數后轉化為判斷
和函數
的圖象的公共點的個數的問題.通過分析函數
的單調性得到圖象的大致形狀即可.
試題解析:
(1)函數的定義域為,
∵,
∴
①當時,
恒成立,
所以函數在
上單調遞增;
②當時,
則當時,
,
單調遞減,
當時,
,
單調遞增.
綜上所述,當時,函數
在
上單調遞增;
當時,函數
在
上單調遞增,在
上單調遞減.
(2)由題意知,函數的零點個數即方程
的根的個數.
令,
則
由(1)知當時,
在
遞減,在
上遞增,
∴.
∴在
上恒成立.
∴,
∴在
上單調遞增.
∴,
.
所以當或
時,函數沒有零點;
當時函數有一個零點.
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【題目】(2016·無錫模擬)已知函數f(x)滿足,當x∈[0,1]時,f(x)=x.若g(x)=f(x)-mx-2m在區間(-1,1]上有兩個零點,則實數m的取值范圍是________________.
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【題目】正項等差數列{an}滿足a1=4,且a2,a4+2,2a7-8成等比數列,{an}的前n項和為Sn.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)令,求數列{bn}的前n項和Tn.
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【題目】已知函數f(x)=|2x-a|+|2x-1|(a∈R).
(1)當a=-1時,求f(x)≤2的解集;
(2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含集合,求實數a的取值范圍.
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【題目】已知函數f(x)= (a∈R).
(Ⅰ)求f(x)的單調區間與極值;
(Ⅱ)若函數f(x)的圖象與函數g(x)=1的圖象在區間(0,e2]上有兩個公共點,求實數a的取值范圍.
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【題目】在直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ-2sinθ.
(Ⅰ)求C的參數方程;
(Ⅱ)若點A在圓C上,點B(3,0),求AB中點P到原點O的距離平方的最大值.
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【題目】已知函數f(x)=|x-1|.
(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;
(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求證:f(ab)>|a|f().
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【題目】(導學號:05856289)[選修4-4:坐標系與參數方程]
直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=2(sinθ+cosθ),直線l的參數方程為: (t為參數) .
(Ⅰ)寫出圓C和直線l的普通方程;
(Ⅱ)點P為圓C上動點,求點P到直線l的距離的最小值.
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