Question

20.如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.

（1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小？

（半個橢圓的面積公式為S=lh，柱體體積為：底面積乘以高.本題結果均精確到0.1米）

Answer 1

20.

（1）解：如圖建立直角坐標系，

則點P（11，4.5），橢圓方程為+=1.

將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，

得a=，此時l=2a=≈33.3.

因此隧道的拱寬約為33.3米.

 

（2）解法一：由橢圓方程+=1，得+=1.

因為+≥，即ab≥99，且l=2a，h=b，

所以S=lh=≥.

當S取最小值時，有==，得a=11，b=

此時l=2a=22≈31.1，h=b≈6.4.

故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小.

 

解法二：由橢圓方程+=1，得+=1.

 

于是b²=·.

 

a²b²=（a²－121++242）≥·（2+242）=81×121，

 

即ab≥99，當S取最小值時，有a²－121=.

得a=11，b=，以下同解法一.