Question

（2007•上海）某人定制了一批地磚．每塊地磚 （如圖1所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格之比依次為3：2：1．若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH．
（1）求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）E，F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？

Answer 1

分析：（1）圖2是由四塊圖1所示地磚組成，由圖1依次逆時針旋轉90°，180°，270°后得到，由此能夠證明四邊形EFGH是正方形．
（2）設CE=x，則BE=0.4-x，每塊地磚的費用為W，求出W的表達式，借助二次函數的性質能求出E，F在什么位置時，做這批地磚所需的材料費用最省．

解答：解：（1）證明：圖2是由四塊圖1所示地磚組成，
由圖1依次逆時針旋轉90°，180°，270°后得到，
∴EF=FG=GH=HE．又CE=CF，
∴△CEF為等腰直角三角形．
∴四邊形EFGH是正方形．
（2）設CE=x，則BE=0.4-x，
每塊地磚的費用為W，
制成△CEF、△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價格依次為3a，2a，a（元），
則W=

1

2

x2•3a+

1

2

(0.4-x)×0.4×2a+[0.16-

1

2

x2-

1

2

×0.4×0.4-x]•a
=a（x²-0.2x+0.24）=a[（x-0.1）²+0.23]（0＜x＜0.4）
由a＞0，當x=0.1時，W有最小值，
即總費用最省．當CE=CF=0.1米時最省．

點評：本題考查函數在生產生活中的實際應用，解題時要認真審題，仔細分析題設條件中的數量關系，合理地進行等價轉化．