Question

橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的離心率為e，則過點（1，e）且被圓x²+y²-4x-4y+4=0截得的最長弦所在的直線的方程是（　　）

A．3x+2y-4=0

B．4x+6y-7=0

C．3x-2y-2=0

D．4x-6y-1=0

Answer 1

分析：由于橢圓的方程可得離心率為e=

1

2

，故所求的直線經過點A（1，

1

2

），顯然點A（1，

1

2

）在圓內．要使直線被圓截得的弦長最長，只有直線經過圓心C．求得直線的斜率K_AC 的值，利用點斜式求得所求直線的方程．

解答：解：由于橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的離心率為e=

c

a

=

1

2

，故所求的直線經過點A（1，

1

2

）．
圓x²+y²-4x-4y+4=0 即 （x-2）²+（y-2）²=4，圓心為C（2，2），半徑等于2，顯然 點A（1，

1

2

）在圓內．
要使直線被圓截得的弦長最長，只有直線經過圓心C．
由于直線的斜率為 K_AC=

2- 1 2

2-1

=

3

2

，故所求直線的方程為 y-

1

2

=

3

2

（x-1），即 3x-2y-2=0，
故選C．

點評：本題主要考查橢圓的簡單性質，直線和圓的位置關系的應用，屬于中檔題．