Question

(2014·成都模擬)已知函數f(x)=x²++alnx(x>0).
(1)若f(x)在[1,+∞)上單調遞增,求a的取值范圍.
(2)若定義在區間D上的函數y=f(x)對于區間D上的任意兩個值x₁,x₂總有不等式[f(x₁)+f(x₂)]≥f成立,則稱函數y=f(x)為區間D上的“凹函數”.試證當a≤0時,f(x)為“凹函數”.

Answer 1

（1）a≥0   （2）見解析

(1)由f(x)=x²++alnx,
得f′(x)=2x-+.
因為函數為[1,+∞)上的單調增函數.
則f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
即不等式2x-+≥0在[1,+∞)上恒成立.
即a≥-2x²在[1,+∞)上恒成立.
令φ(x)=-2x²,上述問題等價于a≥φ(x)_max,而φ(x)=-2x²為[1,+∞)上的減函數,則φ(x)_max=φ(1)=0,于是a≥0為所求.
(2)由f(x)=x²++alnx得
=(+)++(lnx₁+lnx₂)
=(+)++aln,
f=++aln,
而(+)≥[(+)+2x₁x₂]=,　①
又(x₁+x₂)²=(+)+2x₁x₂≥4x₁x₂,
所以≥.　②
因為≤,所以ln≤ln,
因為a≤0,所以aln≥aln,　③
由①②③得(+)++aln≥++aln,
即≥f,
從而由凹函數的定義可知a≤0時,函數f(x)為凹函數.