Question

設f（x）是定義在R上的偶函數，且f（2+x）=f（2﹣x），當x∈[﹣2，0）時，f（x）=﹣1，若在區間（﹣2，6）內的關于x的方程f（x）﹣logg_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4個不同的實數根，則實數a的取值范圍是（　　）

A．

（，1）

B．

（1，4）

C．

（1，8）

D．

（8，+∞）

Answer 1

考點：

根的存在性及根的個數判斷．

專題：

計算題；作圖題；函數的性質及應用．

分析：

在同一直角坐標系中作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區間（﹣2，6）內的圖象，結合題意可得到關于a的關系式，從而得到答案．

解答：

解：∵當x∈[﹣2，0）時，f（x）=﹣1，

∴當x∈（0，2]時，﹣x∈[﹣2，0），

∴f（﹣x）=﹣1=﹣1，又f（x）是定義在R上的偶函數，

∴f（x）=﹣1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2﹣x），

∴f（x）的圖象關于直線x=2對稱，且f（4+x）=f（﹣x）=f（x），

∴f（x）是以4為周期的函數，

∵在區間（﹣2，6）內的關于x的方程f（x）﹣log_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4個不同的實數根，

令h（x）=log_a（x+2），即f（x）=h（x）=log_a（x+2）在區間（﹣2，6）內有有4個交點，

在同一直角坐標系中作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區間（﹣2，6）內的圖象，

∴0＜log_a（6+2）＜1，

∴a＞8．

故選D．

點評：

本題考查根的存在性及根的個數判斷，求得f（x）的解析式，作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區間（﹣2，6）內的圖象是關鍵，考查作圖能力與數形結合的思想，屬于難題．