Question

如圖，一塊曲線(xiàn)部分是拋物線(xiàn)形的鋼板，其底邊長(zhǎng)為2，高為1，將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，記CD=2x，梯形面積為S．則S的最大值是

32

27

．

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系，求出拋物線(xiàn)的方程，進(jìn)而可求梯形的高，從而可求梯形的面積，利用基本不等式即可求得最大值．

解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=-2py（p＞0）
則B（1，-1），代入拋物線(xiàn)方程可得2p=1，∴拋物線(xiàn)方程為x²=-y
∵CD=2x，∴D（x，-x²）
∴梯形的高為1-x²，梯形的面積為S=（x+1）（1-x²），x∈（0，1）
S=（x+1）（1-x²）=

1

2

（x+1）²（2-2x）≤

1

2

×(

x+1+x+1+2-2x

3

)3=

32

27

，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=2-2x，即x=

1

3

時(shí)，S的最大值是

32

27

故答案為：

32

27

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查拋物線(xiàn)方程，考查函數(shù)的最值，確定梯形的高是關(guān)鍵．