Question

已知數列{a_n}是公差為正的等差數列，其前n和為S_n，點（n，S_n）在拋物線上；各項都為正數的等比數列{b_n}滿足．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=2a_n-b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，S_n=n²+n，利用等差數列的性質可求得{a_n}的通項公式，由b₁b₃=，b₅=可求得{b_n}的通項公式；
（2）c_n=2a_n-b_n，利用分組求和的方法即可求得數列{c_n}的前n項和T_n．
解答：解：（1）∵點（n，S_n）在拋物線y=x²+x上，
∴S_n=n²+n，
∴當n=1時，a₁=2；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=3n-1；
當n=1時，也適合上式，
∴a_n=3n-1；
∵{b_n}為各項都為正數的等比數列，且b₁b₃==，b₅=b₂•q³=，
∴b₂=，公比q=，
∴b_n=b₂•q^n-2=×=．
（2）∵c_n=2a_n-b_n=2（3n-1）-，
∴其前n項和T_n=c₁+c₂+…+c_n
=[（6×1-2）+（6×2-2）+…+（6n-2）]-[++…+]
=-2n-
=3n²+n-1+．
點評：本題考查等差數列與等比數列的通項公式，著重考查等差數列與等比數列的分組求和與公式法求和，屬于中檔題．