Question

已知：a，b，c都是正實數，且ab+bc+ca=1．求證：a+b+c≥

3

．

Answer 1

分析：由題意可得，只需證（a+b+c）²≥3，只需證a²+b²+c²≥1，只需證a²+b²+c²-（ab+bc+ca）≥0，只需證
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0．

解答：證明：要證原不等式成立，只需證（a+b+c）²≥3，即證a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）≥3，
又ab+bc+ca=1．所以，只需證：a²+b²+c²≥1，即a²+b²+c²-1≥0，
因為ab+bc+ca=1．所以，只需證：a²+b²+c²-（ab+bc+ca）≥0，
只需證：2a²+2b²+2c²-2（ab+bc+ca）≥0，
即（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，而（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0顯然成立，
故原不等式成立．

點評：本題考查用分析法證明不等式，尋找使不等式成立的充分條件，是解題的關鍵．