Question

已知△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若A、B、C成等差數列，b=1，記角A=x，a+c=f （x）．
（Ⅰ）當x∈[，]時，求f （x）的取值范圍；
（Ⅱ）若，求sin2x的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據A、B、C成等差數列和三角形內角和，求得B，進而利用正弦定理求得b，進而把a和c的表達式代入函數，利用兩角和公式化簡整理求得函數的解析式，進而根據x的范圍利用正弦函數的性質求得函數的最大和最小值．
（Ⅱ）把x-代入函數解析式，求得sinx的值，利用同角三角函數的基本關系求得cosx的值，代入正弦函數的二倍角公式中即可求得答案．
解答：解：（I）由已知A、B、C成等差數列，得2B=A+C，
∵在△ABC中，A+B+C=π，于是解得，．
∵在△ABC中，，b=1，
∴=
===，
即．
由≤x≤得≤x+≤，于是≤f（x）≤2，
即f（x）的取值范圍為[，2]．

（Ⅱ）∵，即．
∴．
若，此時由知x＞，這與矛盾．
∴x為銳角，故．
∴sin2x=2sinxcosx=．
點評：本題主要考查了三角函數的定義域和值域．兩角和公式的化簡求值等．考查了學生對基礎知識的綜合運用．屬基礎題．