Question

(2005天津，16)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)=________．

Answer 1

答案：0
解析：

解析：解法一：f(x)=0滿足在R上是奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線對稱．∴f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0；故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)=f(5)=0； 解法二：f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(0)=0，f(－x)=－f(x)，f(x)的圖象關(guān)于直線對稱，∴f(x)=f(1－x)． ∴f(1)=f(1－1)=f(0)=0； f(2)=f(1－2)=f(－1)=－f(1)=0； f(3)=f(1－3)=f(－2)=－f(2)=0； f(4)=f(1－4)=f(－3)=－f(3)=0； f(5)=f(1－5)=f(－4)=－f(4)=0． ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)=0． 解法三：以f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(0)=0，f(－x)=－f(x)． f(x)的圖象關(guān)于直線對稱，故f(x)=f(1－x)． ∴f(1－x)=f(x)=－f(－x)．設(shè)t=－x，則f(1＋t)=－f(t)， ∴f(2＋t)=f[1＋(1＋t)]=－f(1＋t)=－[－f(t)]=f(t)， 即f(2＋t)=f(t)，可知f(x)的周期是2． ∴f(1)=f(3)=f(5)，f(2)=f(4)．又f(1)=f(1－1)=f(0)=0， f(2)=f(1－2)=f(－1)=－f(1)=0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)=0．

提示：

剖析：根據(jù)奇函數(shù)的定義及對稱性，可求得f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0．