Question

已知函數f(x)=

kx+1

x2+c

（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是x=-c．
（Ⅰ）求函數f（x）的另一個極值點；
（Ⅱ）求函數f（x）的極大值M和極小值m，并求M-m≥1時k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）原函數恰有一個極大值點和一個極小值點就是導函數恰有兩個不等實根，利用根與系數的關系求出另一根即可．
（Ⅱ）根據開口向上和向下兩種情況分別找到M-m，再解M-m≥1即可．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

k(x2+c)-2x(kx+1)

(x2+c)2

=

-kx2-2x+ck

(x2+c)2

，
由題意知f'（-c）=0，即得c²k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f'（x）=0得-kx²-2x+ck=0，
由韋達定理知另一個極值點為x=1（或x=c-

2

k

）．
（Ⅱ）由（*）式得k=

2

c-1

，即c=1+

2

k

．
當c＞1時，k＞0；當0＜c＜1時，k＜-2．
（i）當k＞0時，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）內是減函數，在（-c，1）內是增函數．
∴M=f(1)=

k+1

c+1

=

k

2

＞0，m=f(-c)=

-kc+1

c2+c

=

-k2

2(k+2)

＜0，
由M-m=

k

2

+

k2

2(k+2)

≥1及k＞0，解得k≥

2

．
（ii）當k＜-2時，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）內是增函數，在（-c，1）內是減函數．
∴M=f(-c)=

-k2

2(k+2)

＞0，m=f(1)=

k

2

＜0M-m=

-k2

2(k+2)

-

k

2

=1-

(k+1)2+1

k+2

≥1恒成立．
綜上可知，所求k的取值范圍為(-∞，-2)∪[

2

，+∞)．

點評：本題考查利用導函數來研究函數的極值以及對分類討論思想的考查．分類討論思想在數學中是非常重要的思想之一，所以希望能加強這方面的訓練．