Question

某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響．已知某學生選修甲而不選修乙和丙的概率為0.08，選修甲和乙而不選修丙的概率是0.12，至少選修一門的概率是0.88，用ξ表示該學生選修的課程門數和沒有選修的課程門數的乘積．
（1）記“函數f（x）=x²+ξ•x為R上的偶函數”為事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由于學生是否選修哪門課互不影響，利用相互獨立事件同時發生的概率解出學生選修甲、乙、丙的概率，由題意得到ξ=0時，表示該學生選修三門功課或三門功課都沒選，根據互斥事件的概率公式得到結果．
（2）用ξ表示該學生選修的課程門數和沒有選修的課程門數的乘積，所以變量的取值是0或2，結合第一問解出概率，寫出分布列，算出期望．

解答：解：設該學生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z
依題意得

x(1-y)(1-z)=0.08 xy(1-z)=0.12 1-(1-x)(1-y)(1-z)=0.88

，解得

x=0.4 y=0.6 z=0.5

（1）若函數f（x）=x²+ξ•x為R上的偶函數，則ξ=0
當ξ=0時，表示該學生選修三門功課或三門功課都沒選．
∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）
=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24
∴事件A的概率為0.24
（2）依題意知ξ的取值為0和2由（1）所求可知
P（ξ=0）=0.24
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）=0.76
則ξ的分布列為

∴ξ的數學期望為Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52

點評：求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大，解題的關鍵是正確理解題意．