Question

已知函數f（x）的圖象關于點（a，b）對稱，則有f（x）+f（2a-x）=2b對任意定義域內的x均成立．
（1）若函數的圖象關于點（0，1）對稱，求實數m的值；
（2）已知函數g（x）=-x²+nx+1（x＞0）在（1）的條件下，若對實數x＞0及t＞0時恒有不等式g（x）＜f（t）成立，求實數n的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題設，∵函數的圖象關于點（0，1）對稱，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴+=2，
∴m=1；
（2）由（1）得f（t）=t++1（t＞0），
當t＞0時，t++1+1=3，所以其最小值為f（1）=3，
g（x）=-x2+nx+1=-（x-）2+1+，
①當＜0，即n＜0時，g（x）max=1+＜3，∴n∈（-2，0），
②當≥0，即n≥0時，g（x）_max＜1＜3，∴n∈[0，+∞），
由①②得n∈（-2，+∞）．
分析：（1）利用函數的圖象關于點（0，1）對稱，可得f（x）+f（-x）=2，代入化簡，可得實數m的值；
（2）根據（1）中函數的解析式，求出t＞0時f（t）的最小值，利用二次函數性分類討論可求得g（x）的最大值，根據對實數x＞0及t＞0時恒有不等式g（x）＜f（t）成立，得g（x）_max＜f（t）_min，由此可求實數n的取值范圍．
點評：本題考查函數與方程的綜合應用，考查恒成立條件下求參數取值范圍問題，考查分類討論思想，恒成立問題基本思路是轉化為求函數的最值問題解決，本題運用基本不等式及二次函數性質求得函數最值．