Question

已知橢圓是拋物線的一條切線。

   （I）求橢圓的方程；

   （II）過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（I）由

因直線相切

                          

故所求橢圓方程為                                                              

   （II）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：

                                   

當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：                         

由

即兩圓相切于點（0，1）

因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）

事實上，點T（0，1）就是所求的點，證明如下。

當直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）

若直線L不垂直于x軸，可設直線L：

由

記點、                                 

              

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）

所以在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件。