Question

設f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）。
（1）求g（x）的單調區間和最小值；
（2）討論g（x）與g（）的大小關系；
（3）求a的取值范圍，使得g（a）-g（x）＜，對任意x＞0成立。

Answer 1

解：（1）由題設知
∴，令0，得x=1
當x∈（0，1）時，＜0，故（0，1）是g（x）的單調減區間
當x∈（1，+∞）時，＞0，故（1，+∞）是的單調遞增區間，
因此，x=1是g（x）的唯一值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為g（1）=1；
（2）
設
則
當x=1時，即
當時，
因此在內單調遞減
當時，
即；
（3）由（1）知g（x）的最小值為1，
所以
對任意，成立
即
從而得。