Question

已知設函數f(x)=sinxcosx-

3

cos2x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函數g(x)=f(x-

π

4

)+

3

2

，求y=g（x）在[0，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的正弦函數將f（x）化簡為：f（x）=sin（2x-

π

3

）-

3

2

即可求f（x）的最小正周期；
（2）可求得g（x）=sin（2x-

5π

6

），利用正弦函數的性質即可求其再[0，

π

4

]上的最大值．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

sin2x-

3

cos²x
=

1

2

sin2x-

3

2

（1+cos2x）
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x-

3

2

=sin（2x-

π

3

）-

3

2

．
故f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
（2）依題意g（x）=f（x-

π

4

）+

3

2

=sin[2（x-

π

4

）-

π

3

]-

3

2

+

3

2

=sin（2x-

5π

6

）．
當x∈[0，

π

4

]時，2x-

5

6

π∈[-

5π

6

，-

π

3

]，故-1≤g（x）≤-

1

2

，
所以g（x）在[0，

π

4

]上的最大值為g（0）=-

1

2

．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查正弦函數的單調性與最值，考查三角函數性質的綜合應用，屬于中檔題．