Question

（本小題滿分12分）
三棱錐中，，,

（1） 求證：面面
（2） 求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）取BC中點O，連接AO，PO，通過△POA≌△POB≌△POC，得到∠POA=∠POB=∠POC=90°，推出PO⊥面BCD，∴面PBC⊥面ABC。
（2）cos(n₁, n₂)==。

解析試題分析：（1） 證明：取BC中點O，連接AO，PO，由已知△BAC為直角三角形，
所以可得OA=OB=OC，又知PA=PB=PC，
則△POA≌△POB≌△POC    2分
∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥OB,PO⊥OA,OB∩OA=O
所以PO⊥面BCD，           4分
面ABC，∴面PBC⊥面ABC   5分
（2） 解：過O作OD與BC垂直，交AC于D點，
如圖建立坐標系O—xyz

則，，，，
   7分
設面PAB的法向量為n₁=(x,y,z)，由n₁· =0，n₁·=0,可知n₁=(1,-,1)
同理可求得面PAC的法向量為n₁=(3,,1)      10分
cos(n₁, n₂)==         12分
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系，角的計算。
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，（2）小題，應用空間向量，使問題解答得以簡化。