Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）．
（1）當x=2時，求證：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；
（3）當f（x）取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AEFD⊥平面EBCF，EF∥BC∥AD，可得AE⊥EF，進而由面面垂直的性質定理得到AE⊥平面EBCF，進而建立空間坐標系E-xyz，求出BD，EG的方向向量，根據兩個向量的數量積為0，即可證得BD⊥EG；
（2）根據等體積法，我們可得f（x）=V_D-BCF=V_A-BFC的解析式，根據二次函數的性質，易求出f（x）有最大值；
（3）根據（2）的結論，我們求出平面BDF和平面BCF的法向量，代入向量夾角公式即可得到二面角D-BF-C的余弦值．
解答：證明：（1）∵平面AEFD⊥平面EBCF，∵，
∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標系E-xyz．
∵EA=2，∴EB=2，
又∵G為BC的中點，BC=4，∴BG=2．
則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），
∴=（-2，2，2），=（2，2，0），=（-2，2，2）•（2，2，0）=0，
∴BD⊥EG．
解：（2）∵AD∥面BFC，
所以f（x）=V_D-BCF=V_A-BFC===，
即x=2時f（x）有最大值為．（8分）
（3）設平面DBF的法向量為，
∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），
F（0，3，0），∴，=（-2，2，2），
則，
即，
取x=3，y=2，z=1，
∴
∵AE⊥面BCF，
∴面BCF一個法向量為，
則cos＜＞=，（14分）
由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為-．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，棱錐的體積，直線與平面垂直的性質，其中（1）的關鍵是建立坐標系，將線線垂直轉化為向量數量積為0，（2）的關鍵是利用等體積法將三棱錐BCDF的體積，轉化為四棱錐ABCF的體積，（3）的關鍵是求出平面BDF和平面BCF的法向量，將二面角問題轉化為向量的夾角．