Question

以如圖,在平面直角坐標系中,一條定長為m的線段,其端點A、B分別在x、y軸上滑動,設點M滿足=λ(λ是不等于1的正常數),試問:是否存在兩個定點E、F,使得||、||、||成等差數列?若存在,求出E、F的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解：設點M的坐標為(x,y),A(a,0)、B(0,b),則a²+b²=m².

    由=λ，得

∴∴(1+λ)²x²+()²y²=m²,

    即=1.

    由λ＞0且λ≠1，知點M的軌跡為橢圓.

    假如存在兩點E、F,使||、||、||成等差數列,則2||=||+||.因m、λ為定值,故2||=是定值,即||+||為定值.故E、F應為橢圓的焦點,且為長軸長,于是＞,即0＜λ＜1.

∴當0＜λ＜1時,存在兩定點E、F,它們分別為橢圓=1的兩焦點(m,0)及(-m,0);

    當λ＞1時,＞,M的軌跡是橢圓,半長軸長為,同時由假設知半長軸又為,矛盾,故此時不存在定點E、F.