Question

題目

某海濱城市坐落在一個三角形海域的頂點O處（如圖），一條海岸線AO在城市O的正東方向，另一條海岸線OB在城市O北偏東方向，位于城市O北偏東方向15km的P處有一個美麗的小島. 旅游公司擬開發如下一條旅游觀光線路：從城市O出發沿海岸線OA到達C處，再從海面直線航行，途經小島P到達海岸線OB的D處，然后返回城市O. 為了節省開發成本，要求這條旅游觀光線路所圍成的三角形區域面積最小，問C處應選址何處？并求這個三角形區域的最小面積.

Answer 1

解：以O為原點，直線OA為x軸建立平面直角坐標系. 直線OB的傾斜角為 ，

從而直線OB的方程為y=3x.    …………………………… 2分                                         

由已知，|OP|=15，，得點P的坐標為（9，12）.……………… 4分

設點C的坐標為 (t ，0)，則直線PC的方程為 ：，…… 5分

聯立y=3x，得，    ∴t ＞5. ……………… 7分

 ∴…………………………… 9分

 = =120. ………… 11分

上式當且僅當，即t=10時取等號.

而當時，

∴當t=10時，S_△OCD取最小值120. …………………………… 14分

答：當C地處于城市O正東方向10km處時，能使三角形區域面積最小，其最小面積為120(km)². …………………………… 16分