Question

已知實數a＞0且a≠1，命題p：y=log_a（2-ax）在區間上為減函數；命題q：方程e^x-x+a-3=0在[0，1]有解．若p∨q為真，p∧q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由a＞0，知t=2-ax為上的減函數．由y=log_a（2-ax）在區間上為減函數，知a＞1；由2-ax＞0在上恒成立，知a＜4，故1＜a＜4．由對于?x∈[0，1]，e^x-x+a-3=0有解，知a=-e^x+x+3在[0，1]上有解．再由p∨q為真，p∧q為假，能求出實數a的取值范圍．
解答：解：∵a＞0，∴t=2-ax為上的減函數．
又∵y=log_a（2-ax）在區間上為減函數，∴a＞1…（2分）
又∵2-ax＞0在上恒成立，
∴，即a＜4，
∴1＜a＜4…（4分）
∵對于?x∈[0，1]，e^x-x+a-3=0有解，
即a=-e^x+x+3在[0，1]上有解．
令f（x）=-e^x+x+3，x∈[0，1]，
∴f′（x）=-e^x+1，
當0≤x≤1時，f′（x）=-e^x+1≤0，
∴f（1）≤f（x）≤f（0），
即4-e≤f（x）≤2，
∴4-e≤a≤2…（8分）
又∵p∨q為真，p∧q為假
∴1＜a＜4-e或2＜a＜4．…（12分）
點評：本題考查命題的真假判斷和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意對數函數的指數方程的性質的靈活運用．