Question

解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 如圖，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB．D、E分別為棱C1C、B1C1的中點． (1) 求點B到平面A1C1CA的距離 (2) 求二面角B—A1D—A的大小 (3) 在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，確定其位置并證明結論；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵A1B1C1－ABC為直三棱住∴CC1⊥底面ABC∴CC1⊥BC ∵AC⊥CB∴BC⊥平面A1C1CA………………2分 ∴BC長度即為B點到平面A1C1CA的距離 ∵BC＝2∴點B到平面A1C1CA的距離為2……………………4分
(2)	解法一： 分別延長AC，A1D交于G．過C作CM⊥A1G于M，連結BM ∵BC⊥平面ACC1A1∴CM為BM在平面A1C1CA的內射影 ∴BM⊥A1G∴∠GMB為二面角B—A1D—A的平面角……………………6分 平面A1C1CA中，C1C＝CA＝2，D為C1C的中點 ∴CG＝2，DC＝1在直角三角形CDG中，……8分 即二面角B—A1D—A的大小為………………9分 　　解法二： ∵A1B1C1—ABC為直三棱住C1C＝CB＝CA＝2 AC⊥CBD、E分別為C1C、B1C1的中點 建立如圖所示的坐標系得 C(0，0，0)B(2，0，0)A(0，2，0) C1(0，0，2)B1(2，0，2)A1(0，2，2) D(0，0，1)E(1，0，2)………………6分 設平面A1BD的法向量為n …………8分 平面ACC1A1的法向量為m＝(1，0，0)…………9分 即二面角B—A1D—A的大小為………………10分
(3)	解法一： 在線段AC上存在一點F，使得EF⊥平面A1BD………………10分 其位置為AC中點，證明如下………………11分 ∵A1B1C1—ABC為直三棱柱∴B1C1//BC ∵由(1)BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA ∵EF在平面A1C1CA內的射影為C1F∵F為AC中點∴C1F⊥A1D∴EF⊥A1D………13分 同理可證EF⊥BD∴EF⊥平面A1BD…………………14分 ∵E為定點，平面A1BD為定平面∴點F唯一 　　解法二： 在線段AC上存在一點F，設F(0，y，0)使得EF⊥平面A1BD……11分 欲使EF⊥平面A1BD由(2)知，當且僅當n//…………12分 ………………13分∴存在唯一一點F(0，1，0)滿足條件 即點F為AC中點………………14分